Đường Trung Tuyến Là Gì​? Tính Chất Của Đường Trung Tuyến

 

Đường trung tuyến là gì​?

Đường trung tuyến trong tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện. Trung điểm của cạnh là điểm chia cạnh đó thành hai phần bằng nhau.

Ví dụ, trong tam giác ABC, nếu M là trung điểm của cạnh BC, thì đoạn thẳng AM là đường trung tuyến từ đỉnh A đến cạnh BC. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến, và chúng cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác.

Tính chất quan trọng của đường trung tuyến là trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỷ lệ 2:1, với phần gần đỉnh dài gấp đôi phần còn lại.

Đường trung tuyến AM

Tính chất và dấu hiệu nhận biết đường trung tuyến

Tính chất của đường trung tuyến

• Chia cạnh đối diện thành hai phần bằng nhau: Đường trung tuyến nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.Vì vậy nó chia cạnh đó thành hai đoạn có độ dài bằng nhau.
• Trọng tâm chia đường trung tuyến theo tỷ lệ 2:1: Trong mỗi tam giác, ba đường trung tuyến cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm (G). Trọng tâm này chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần với tỷ lệ 2:1, trong đó phần gần đỉnh của tam giác dài gấp hai lần phần còn lại.
• Không vuông góc với cạnh đối diện: Đường trung tuyến không nhất thiết phải vuông góc với cạnh đối diện. Điều này khác với đường cao, vốn luôn vuông góc với cạnh đối diện.
• Đường trung tuyến có thể tạo thành hình học đặc biệt trong tam giác đều: Trong tam giác đều, các đường trung tuyến không chỉ là các đoạn nối đỉnh với trung điểm mà còn là phân giác, đường cao và trung trực, và chúng đều có độ dài bằng nhau.

Dấu hiệu nhận biết đường trung tuyến

Nối một đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện: Đường trung tuyến luôn nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Nếu bạn có một đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với điểm chia đôi cạnh đối diện, đó chính là đường trung tuyến.

Chia cạnh đối diện thành hai đoạn bằng nhau: Nếu một đoạn thẳng nối từ đỉnh đến một điểm trên cạnh đối diện và chia cạnh đó thành hai phần bằng nhau, thì đoạn thẳng đó chính là đường trung tuyến.

Thông qua các tính chất và dấu hiệu nhận biết này, bạn có thể dễ dàng xác định đâu là đường trung tuyến và áp dụng tính chất Đường trung tuyến là gì​.

Công thức tính đường trung tuyến

Sau khi đã làm rõ khái niệm Đường trung tuyến là gì​, thì công thức tính đường trung tuyến cũng vô cùng quan trọng. Để tính độ dài của một đường trung tuyến trong tam giác, ta có thể sử dụng công thức định lý Apollonius. Định lý này giúp tính độ dài của đường trung tuyến từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện trong tam giác.

Công thức tính độ dài của đường trung tuyến AM trong tam giác ABC (với M là trung điểm của BC) là:

AM²= ½  (AB²+ AC²-½.BC²)

hay 

AM= √(AB²/2+ AC²/2-BC²/4)

Trong đó:

AB, AC, BC là độ dài các cạnh của tam giác

AM là độ dài của đường trung tuyến từ đỉnh A đến trung điểm của cạnh BC.

Công thức tổng quát tính độ dài 3 đường trung tuyến trong tam giác

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB= 6 cm, AC= 8cm, BC= 10cm. Hỏi độ dài đường trung tuyến AM bằng bao nhiêu?

AM²= ½  (6²+ 8²- 1/2. 10²)

AM²= ½  (36 + 64 -1/2.100)= 25

=> AM= 5cm

Vậy độ dài đường trung tuyến AM là 5cm.

 

Các dạng bài tập liên quan đến Đường trung tuyến là gì​

Dưới đây là một số dạng bài tập liên quan đến đường trung tuyến trong tam giác mà bạn có thể gặp phải, cùng với cách giải quyết chúng:

Dạng 1: Tính độ dài của đường trung tuyến (Dùng định lý Apollonius)

Bài tập: Cho tam giác ABC có các cạnh AB= 6cm, AC= 8cm, BC= 10cm. Tính độ dài của đường trung tuyến AM, với M là trung điểm của cạnh BC.

Cách giải:

Sử dụng công thức định lý Apollonius

AM²= ½ (AB²+ AC²- ½ BC²)

Thay các giá trị vào công thức:

AM²= ½  (6²+ 8²- ½ . 10²)

AM²= ½  (36 + 64 - ½ .100)= 25

AM= √25= 5cm

Vậy độ dài đường trung tuyến AM= 5cm

 

Dạng 2: Xác định tính chất của đường trung tuyến.

Bài tập: Trong tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AD kẻ từ A đến trung điểm BC.  Tính độ dài của AD nếu biết AB= 6cm, AC= 8cm.

Cách giải:

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến từ đỉnh vuông có độ dài bằng nửa độ dài cạnh huyền.

Cạnh huyền BC= √(AB²+AC²)= √(6+8)= 10cm

Do đó AD= 10/2= 5cm

Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, bằng nửa cạnh huyển

Dạng 3: Bài toán về trọng tâm của tam giác

Bài tập: Trong tam giác ABC, ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm G. Biết độ dài của đường trung tuyến AM= 12cm. Tính độ dài đoạn AG.

Cách giải: Trọng tâm của mỗi đường trung tuyến có tỉ lệ 2:1, với phần gần đỉnh dài gấp đôi phần còn lại.

AG= ⅔  x AM= ⅔  x 12 = 8cm

 

Dạng 4: Bài toán về tam giác đều

Bài tập: Tam giác ABC đều,  các đường trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm. Biết rằng độ dài của mỗi đường trung tuyến là 6cm. Tính độ dài của cạnh tam giác ABC.

Cách giải: Trong tam giác đều, đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác. Đoạn đường trung tuyến chia tam giác thành hai tam giác vuông đều.

Giả sử cạnh tam giác đều là a. Đường trung tuyến chia tam giác thành hai tam giác vuông với cạnh huyền là cạnh của tam giác đều, chiều cao (đoạn trung tuyến) là a/2.

Theo định lý Pythagoras, ta có a/2 = 6, do đó a= 12cm.

 

Dạng 5: Tính diện tích tam giác thông qua đường trung tuyến.

Bài tập: Cho tam giác ABC có cạnh AB= 8cm, AC= 6cm, BC= 10 cm. Tính diện tích tam giác ABC bằng cách sử dụng độ dài của đường trung tuyến.

Cách giải: Áp dụng công thức tính diện tích tam giác thông qua các đường trung tuyến. Nếu ma, mb, mc lần lượt là các đường trung tuyến của tam giác đối với cạnh a, b, c thì diện tích S của tam giác có thể tính bằng công thức Heron của đường trung tuyến:

S= 4/3. √[s.(s-ma).(s-mb).(s-mc)]

Trong đó, S= (ma+mb+mc)/2 là nửa chu vi của tam giác do đường trung tuyến tạo thành.

Như vậy, Vinhomesmienbac.com.vn đã làm rõ khái niệm, công thức tính và các dạng bài áp dụng đường trung tuyến. Hy vọng thông tin hữu ích, chúc các bạn áp dụng thành công!