Đường Trung Tuyến Là Gì? Bài Tập Về Đường Trung Tuyến

1. Đường trung tuyến là gì? 

Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ một trong 3 đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến, và ba đường này đều đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác.

Một tam giác có 3 đường trung tuyến

2. Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

Ba đường trung tuyến trong một tam giác đều đồng quy tại một điểm. Điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng cách bằng 2/3 độ dài của đường trung tuyến ứng với đỉnh đó. Giao điểm của ba đường trung tuyến còn gọi là trọng tâm của tam giác.

Vị trí của trọng tâm tam giác: Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Đường trung tuyến trong tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng 1/2 cạnh huyền. Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh có độ dài bằng nửa độ dài cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông. Đường trung tuyến của tam giác vuông cũng có các tính chất giống như đường trung tuyến trong các tam giác khác.

Ví dụ, tam giác vuông ABC có AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC, thì ta có:

AD = 1/2 BC = DB = DC

Ngược lại, nếu trung tuyến AM = 1/2 BC, thì tam giác ABC vuông tại A.

Đường trung tuyến trong tam giác cân

Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân sẽ vuông góc với cạnh đáy, đồng thời chia tam giác thành hai tam giác vuông đều nhau.

Trong tam giác cân ABC tại A, nếu AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC, ta có:

AD ⊥ BC và ΔADB = ΔADC.

Đường trung tuyến trong tam giác đều

Ba đường trung tuyến của tam giác đều chia tam giác thành sáu tam giác có diện tích bằng nhau. Ngoài ra, trong tam giác đều, đường thẳng đi qua bất kỳ đỉnh nào và qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

Ví dụ, với tam giác đều ΔABC, ta có các tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau như sau:

ΔGAE = ΔGAF = ΔGCD = ΔGCF = ΔGBD = ΔGBE = ΔGEB = ΔGEA

Từ đó, các diện tích của các tam giác nhỏ đều bằng nhau:

SADB = SCEA =  SADC = SCEB = SBFA = SBFC.

3. Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Bên cạnh lý thuyết về đường trung tuyến là gì thì việc nắm rõ công thức tính độ dài đường trung tuyến khá quan trọng. Độ dài đường trung tuyến của một tam giác sẽ được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác, theo  định lý Apollonius. Cụ thể: 

Trong đó:

a, b, c: là độ dài 3 cạnh của tam giác.

ma, mb, mc: là 3 đường trung tuyến của tam giác.

4. Các dạng toán thường gặp về đường trung tuyến là gì?

Dạng 1: Tìm tỉ lệ giữa các cạnh, tính độ dài của đoạn thẳng.

Phương pháp:

Phần này liên quan đến vị trí trọng tâm của tam giác.

Với G là trọng tâm của ΔABC và AD, BE, CF lần lượt là ba đường trung tuyến ta có:

AG= ⅔ AD, BG=⅔ BE và CG=⅔ CF.

Dạng 2: Đường trung tuyến trong các trường hợp tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều và tam giác vuông)

Phương pháp:

Lưu ý rằng trong tam giác cân ( hoặc tam giác đều) đường trung tuyến sẽ ứng với cạnh đáy chia tam giác ra thành hai tam giác bằng nhau.

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến sẽ ứng với cạnh huyền và bằng ½ cạnh huyền

5. Câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến đường trung tuyến là gì? 

Câu 1:

Trong tam giác ABC, gọi M là trung điểm của cạnh BC. Đoạn AM là đường trung tuyến. Tính chất nào sau đây không đúng về đường trung tuyến là gì?

A. Đoạn AM chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

B. Đoạn AM cắt nhau tại trọng tâm G của tam giác.

C. Đoạn AM nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.

D. Đoạn AM luôn vuông góc với cạnh BC.

>> Đáp án: D. Đoạn AM luôn vuông góc với cạnh BC là sai. Đoạn trung tuyến chỉ chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau, nhưng không nhất thiết vuông góc với cạnh đối diện.

Câu 2:

Trong tam giác vuông ABC với góc vuông tại A, M là trung điểm của BC. Đoạn AM có đặc điểm nào sau đây?

A. AM là đường cao của tam giác.

B. AM là đường phân giác trong của tam giác.

C. AM là đường trung tuyến và cũng là đường cao.

D. AM không phải là một đường đặc biệt trong tam giác vuông.

>> Đáp án: C. AM là đường trung tuyến và cũng là đường cao trong tam giác vuông. (Trong tam giác vuông, đường trung tuyến nối từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền chính là đường cao).

Câu 3:

Trong tam giác ABC, AM là đường trung tuyến, M là trung điểm của cạnh BC. Đoạn AM có tính chất nào sau đây?

A. AM chia tam giác thành hai tam giác vuông.

B. AM chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

C. AM cắt BC tại góc vuông.

D. AM là đường cao của tam giác ABC.

>> Đáp án: B. AM chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau, vì đường trung tuyến luôn chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Câu 4:

Trong tam giác ABC, trọng tâm G là giao điểm của ba đường trung tuyến. Tỷ lệ chiều dài giữa đoạn từ đỉnh đến trọng tâm (AG) và đoạn từ trọng tâm đến trung điểm của cạnh đối diện (GM) là:

A. 1:1

B. 2:1

C. 3:1

D. 4:1

>> Đáp án: B. 2:1. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành tỷ lệ 2:1, trong đó phần gần đỉnh dài gấp đôi phần còn lại.

Câu 5:

Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 10 cm, AC = 8 cm, BC = 6 cm. Gọi M là trung điểm của BC. Đoạn trung tuyến AM có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 4 cm

B. 5 cm

C. 6 cm

D. 7 cm

>> Đáp án: B. 5 cm.

(Sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác: 

AM²= (2AB²+2AC² -BC²)/ 4

Câu 6: Trong tam giác đều, các đường trung tuyến có tính chất nào sau đây?

A. Các đường trung tuyến đồng thời là các đường cao và phân giác.

B. Các đường trung tuyến chỉ là các đoạn nối các đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện.

C. Các đường trung tuyến cắt nhau tại một điểm ngoài tam giác.

D. Các đường trung tuyến cắt nhau tại các điểm khác nhau.

>> Đáp án: A. Các đường trung tuyến đồng thời là các đường cao và phân giác trong tam giác đều.

Câu 7:

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, đoạn trung tuyến AM nối từ A đến M (là trung điểm của BC). Điều gì sau đây là đúng?

A. AM là đường phân giác của tam giác.

B. AM là đường cao của tam giác.

C. AM là đường trung tuyến và đồng thời là đường cao.

D. AM là đoạn nối từ A đến trung điểm của BC.

>>Đáp án: C. AM là đường trung tuyến và đồng thời là đường cao trong tam giác vuông tại A.

Trên đây là những giải đáp chi tiết về đường trung tuyến là gì. Hy vọng bài viết trên có ích cho bạn. Đừng quên theo dõi những bài viết thú vị khác của Vinhomesmienbac.com.vn nhé!